既生瑜何生亮。歪写数学史（13.1）三个L之普通L---勒让德

酒哥

转按：没仔细看。是网友cucuwning之原创，先试转几篇看看。
个人觉得此篇的对高斯在几何方面深刻洞察力和远见缺乏适当的欣赏和评价。

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关于此篇的网友部分评论及交流：

cucuwning：
勒让德和高斯的差距就如同一个永远学习第一，获奖无数，藤校毕业，500强里的最牛b
技术人员和一个成绩普通，大学没毕业的叫乔布斯的人差距。

一个聪明的人通过良好的教育可以缩小和天才的差距，但是真正的天才永远不会是教育
出来的。


【 在 bluebel (蓝贝) 的大作中提到: 】
: 我一边看就一边在想，既生瑜何生亮，果然，最后看到这句话了，拍案，哈哈！
: 从流传的画像来看，咱不评谁帅，从气质上说，勒让德是周瑜，高斯是诸葛亮，L较
: G才学半斤八两只差那么一点点，就那么一小点儿，历史定位就差好几级。。别的我
: 都看不懂我瞎说啦 ：）


Shimura：
Legendre比Gauss可不只是差一点点，不过他算运气很好了，毕竟比Gauss年长得多，有
足够的时间悠闲地发表自己的作品。 相比之下Klein惨多了，和大天才Poincare硬碰硬
地同时竞争自守形式，结果因用脑过度直接报废，30多岁就结束了数学生涯。

我觉得写 Legendre 却不提他与年轻一代的 Jacobi和Abel 在他最心爱的椭圆函数领域
的过从，未免有些遗憾。
那是他的堂弟Raymond，曾五次组织内阁，并出任一战时期的法国总统，但应该算不上
数学家。

Poincare是史上最后一位能雄观全局，并在各个领域都打开新局面的人物


【 在 dfgqq (小意观海) 的大作中提到: 】
: poincare 不是据说最后一个称之为全才的数学家？
: 他的哥哥也不错，据说做过总理，并且还是数学家。
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既生瑜何生亮
歪写数学史（13.1）三个L之普通L---勒让德
作者：cucuwning



虽说三大牛都不是法国人，排在第四的欧拉也不是，但是法国却有着最为庞大和豪华的
数学家阵容，从文艺复兴后一直到现代，法国的数学界是人才辈出，群星闪耀，而且有
两个特点，一是连续二是扎堆儿。时至今日，法国依然是能与美国分庭抗礼的超级数学
大国。学过法语的人都知道，法国人这数学是从一会说话就开始训练了。83他们说4个
20加3,91是4个20加11 而97是4个20加10再加7，有加法，有乘法，有同余，有等价类。
一百以内加减法是不用教了，会说话的基本就会了。最可怕的是法国人说电话号码都是
两位两位地，比如说61719197，他们说成 3个20加1,3个20加11，4个20加11,4个20加10
再加7。想要去巴黎浪漫一下的同学除了练好法语以外还得再好好补补数学，别回头人
家给你留电话都听不懂。说一句题外话，成材率能和法国数学界相提并论并全面超越的
也只有那个有着五千年悠久历史，九百六十万平方公里土地的文明古国了，现如今，在
这边神奇的土地上，能顺溜的说几句车轱辘话，上一两回电视的都成专家了；能写几句
现代八股文，发一两篇豆腐块的都成作家了；写出来的东西前言不搭后语，自己都不知
道自己说的是什么的也都成诗人了；能吼两嗓子，再弄出点绯闻裸照的都成歌唱家了；
最不济的，办事颠三倒四，脑残到了极致的，也都是行为表演艺术家了。哎，不好意思
，又跑题了，下面的时间就都交给本章的主人公勒让德先生吧。

以勒让德的贡献，放在世界大多数国家里都能够成为该国历史上最好的三位数学家之一
，在德国或者俄罗斯也有希望冲击前五，在法国呢，前十都有点悬。不过能够和拉格朗
日和拉普拉斯并称，绝对不只是因为勒让德选对了Last Name，从数学史的任何角度出
发，都不能将他视为茫茫人海里的平凡一员。 把勒让德定位于“普通”，更确切的词
汇应该是“典型”，只能归罪于法国太过豪华的数学家阵容。勒让德生于富有家庭，受
过良好的教育，得到过名师的指点，是巴黎科学院和法兰西研究院的两院院士，典型的
法国数学家成长经历。

达芬奇说“世界上没有两个味道完全相同的松花蛋，”再典型的数学家也有“非典型”
的一面。不过首先让我们回顾一下上期的主人公-高斯。受木星的影响和维纳斯的庇护
，高斯的性格里带有金牛座做事过于认真，追求完美的特点，所以高斯的很多工作并没
有发表，因为他觉得不够完美，有时他会等到结果完美了在发表，有时他会通过其他方
式提及自己的研究成果，比如他的日记和他写给友人的书信。高斯这么做有他自己的理
由，但是却害苦了比他大了二十多岁的勒让德。勒让德平时工作比较刻苦，为了工作还
隐居了一阵，也没要孩子，一心扑在事业上。在1805年五十三岁的时候发表的一本名为
《计算彗星轨道的新方法》的书，在这本数的附录中介绍了一种通过最小化误差的平方
去寻找拟合数据最佳函数的方法---最小二乘法。不料在1809年高斯发表的《天体运动
论》一书中，高斯也介绍了最小二乘法，并提到他在1794年就发现并开始使用这个方法
。因为在勒让德书中的前半部分里他并没有使用最小二乘法，所以有理由相信他是在成
书的过程中才发现这种方法的，而高斯又有着延迟发表的毛病，所以大部分人相信高斯
早于勒让德发明最小二乘法。这在数学史上是仅次于微积分发明之争的第二大公案。最
后结局也是承认他们各自独立发明了最小二乘法，不过似乎世人更愿意把功劳都记在高
斯的头上，当然部分原因是高斯的方法更完美，对此勒让德是非常的不满。

故事还没有完，勒让德还有一个重要的发现叫做素数定理是有关素数分布的研究，他并
没有证明这个定理，只是有一个猜想，他在1798年发表了自己的研究，在当时被公认为
第一篇关于素数定理的文献，勒让德也成为素数定理的提出者。没想到在1849年的时候，
高斯在给天文学家恩克(Johann Encke)的信里提到自己在1792到1793（十六岁）年就对
素数分布进行了研究，并得提出了素数定理，于是素数定理发现者的荣誉又被从勒让德
的口袋里飞到了高斯的名下，唯一庆幸的是，此时勒让德已经去世十五年了，所以在他
的有生之年，他一直相信他才是素数定理第一人。

此外勒让德还有一项成果的大部分功劳也被记在了高斯头上，就是二次互反律。这次高
斯没有宣称自己早于勒让德发现二次互反律，因为当它作为一个猜想被勒让德提出来的
时候高斯只有七岁，如果高斯真的在七岁之前就发现并证明了二次互反律，那真得把勒
让德活活气死。遗憾的是，勒让德自己没有能证明二次互反律，而高斯是第一个给出证
明的人，时年是十九岁，而且高斯把他称作算术中的黄金定律，此后又给出了另外七个
不同的证明。

故事还可以继续，勒让德在1798年将他毕生在数论方面的成果编辑成册，发表了《数论
随笔》，没想到才过了三年，高斯就发表了被誉为数论圣经的《算术研究》，随后《数
论随笔》被《算术研究》全面取代。勒让德这次一没有放弃，也没有羡慕嫉妒恨，在
1808年以《数论》的名字出版了《数论随笔》的升级版（第二版），并在序言中给予了
高斯的《算术研究》积极的评价，虽然《数论》没有能代替高斯的《算术研究》报那一
箭之仇，但也成为了数论中的经典著作。当然，勒让德还是有很多高斯没有取得地成果
，比如说椭圆函数（后来在高斯的日记里也被发现了），几何学（终于是高斯的弱项了
）。他的一本名为《几何学原理》的教材被译为多种文字并统治了初等几何教育近一个
世纪。悲催的是这本书后来被认为是限制非欧几何发展的罪魁祸首。而且他本人也在将
近二十年时间里徒劳的想要证明平行公设。

如果勒让德在闲暇的时候看过一本叫《三国演义》的书的话，他一定对里面的一句话非
常认同，就是“既生瑜，何生亮？”

最后还有一件趣闻。因为勒让德十分低调，因此他没有留下什么画像，直到2008年才发
现了一副他真正的画像（如图）。我觉得要么是画师和他有仇，要么是画的时候他想起
了高斯。

酒哥

上文称几何是高斯的弱项。个人觉得所言不很确切。理由至少有二。


第一，高斯实际上是发现、预见到非欧几何的三人之一。

第二，高斯关于曲面曲率的“绝好定理”是极有远见极其深刻的结果。
它实际表明：虽然曲率是描述曲面自身在包含它的空间中如何弯曲，
但这一点无须从包含它的外空间去看，这曲面的（在包容它的外
空间中的）形状只由曲面自身决定，与外在空间无关。

推而广之，黎曼空间在一点的曲率（从外空间看到它的形状）只由这
空间自身决定，无需真的跑到包容它的外空间去看。我们的空间（或
时空）是在外空间如何弯曲的是由我们的空间（或时空）自身决定的，
无需跑到包含我们的空间的外空间去看我们的空间是如何在外空间弯
曲的。

从高斯的这个几何“绝好定理”看，高斯也远比有数学第四人数学界的
莎士比亚之称（欧拉的专著和论文多达800多种）的欧拉在几何中漂
亮的曲面在任意截面上截线的曲率公式深刻多了。（高斯比欧拉不止
强一点。欧拉终身想证出二次互反律未果，高斯第一个给出证明。高
斯后又给出另外六个不同的证明。）

把高斯的这一深刻结果展开、发扬光大的是黎曼。黎曼需要为他的
副教授就职做一个演说。黎曼给了三个题目让高斯决定他讲哪个。高斯
别具慧眼，选了其中最后一个几何题。正式这篇演讲，奠定了黎曼几何
的基础，而黎曼几何已成为广义相对论的数学基础。这是一篇让年老的
高斯心神激荡的高作。黎曼演讲完后，高斯是如此“罕见地激动”，长久
未语，缓步离开了。这份无语的激动和热情远甚于当年他以罕有的热情
高度评价黎曼的那篇开创解析数论的博士论文时的。相信那之后在较长
的一段时间内，除了黎曼和高斯，真正懂得黎曼这篇演讲中在说什么的
人非常稀少。这篇演讲很少数学式子。M. Spivak的五卷本的
A Comprehensive Introduction to Differential Geometry
的第二卷花了近一半的篇幅在用现代的语言解释，黎曼在这篇文章中究竟
在说些什么。

酒哥

高很让人无语感到受挫的的一点是他同时代的数学家，在发表了他们得意的结果之后，
常在高斯的日记或抽屉里 的文稿中，发现高斯已在二十年前得到了更好的结果，但没有发表。

酒哥

有个数学家金字塔图，共有七层。分层未必都得到大家的同意，但大致分歧比较小。
顶端3人，高斯在其中。
第二层4人，黎曼、庞加莱、欧拉在其中，另一人个人认为没那么高
第三层5人
第四层6人，伽罗华、阿贝尔、希尔伯特、、莱布尼茨在其中
第五层5人
第六层8人，费马尔、2L（拉普拉斯、拉格朗日）在其中
第七层4人，勒让德、欧几里得等在这层。

其他的没有列出名字，是由于大众（包括笔者）不太熟悉他们的名字、
或者是由于笔者个人不太认同此人的那层。不点出名字是不想亵渎他们
伟大的功绩。他们都是人类历史上知识进步的（里程碑）大师。

酒哥

在杰出数学家中，已知欧拉、冯·诺伊曼有着超乎常人心算能力。
欧拉晚年近二十年双目失明，做数学靠心算，著作靠口述。据说
欧拉可以此心算8位数除法。冯·诺伊曼对任何问题基本在两分钟
内作出肯定、否定或不知道的回答（据P.Halmos）。